Hi Leute,

da es anscheinend immer wieder mal Probleme gibt mit dem Thema: Wird denn eine Achterbahn bei der Erhöhung der Masse schneller oder langsamer? krame ich mal nen bischen in meinem berstaubten Studierwissen und schau mal, was ich da noch zu Tage bringen kan.
Für die ganz Ungeduldigen:
- rein gewichtsabhängige Reibungen (Gleitreibung, Rollreibung) bewirken: gar nichts. Hier kürzt sich die Masse raus.
- beim Einführen einer geschwindigkeitsabhängigen Reibung (z.B. Luftwiderstand) erhalten wir eine Zunahme der maximal erreichbaren Geschwindigkeit bei Zuname der Masse.
- Relativitätseffekte hab ich hier nicht berücksichtigt.

Wer nun noch die mathematischen Hintergründe wissen will, sollte weiterlesen, der Rest kann diesen Arikel ad acta legen.

Carsten


Fangen wir also jetzt mal mit dem Kramen an:

3. Newtonsches Axiom sagt: Masse = Kraft mal Beschleunigung F = m * a. Das dürfte noch jeder kennen.

Weiterhin gilt, dass die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit die Beschleungung darstellt, oder in Formel dv/dt = a. Oha, hier verliere ich viele. Also mal erklären: Die Änderung der Geschwindigkeit in der zeitlichen Skala wird als Beschleunigung bezeichnet. Beispiel: Wenn ich in 1 s von 0 m/s (Stillstand) auf 10m/s beschleunige, dann erfahre ich eine (durchschnittliche) Beschleunigung von 10m/s / 1s = 10m/s2 (was ungefähr 1g ist).

Umgekehrt heisst das, dass sich die Geschwindigkeit eines Körpers aus seiner Anfangsgeschwindigkeit (v0) und den auf ihn wirkenden Beschleunigungen mal der Einwirkzeit berechnen lässt. Als Formel: v = Integral a dt, oder aber auch v = v0 + a t (für konstante Beschleunigung).
Beispiel: Sei ein Körer 10 m/s schnell, und wirkt auf ihn eine Beschleunigung von 1g, dann ist er nach einer Sekunde: 10m/s + 10m/s2 * 1s = 20m/s schnell.

Diese Betrachtungen waren bisher ohne die Reibung. Was uns Physikern ja immer vorgeworfen wird, dass wir sie vernachlässigen (sie ist halt in erster Näherung zu klein). Und hier müsste ich schmollen, denn wenn Banker in 2ter Näherung die Risiken vernachlässigen, jubelt alles - aber nur bis die Krise passiert.

Ok, die Reibungskraft berechnet sich nach einer einfachen Formel, nämlich senkrecht auf die Fläche wirkende Gewichtskraft mal einen Koeffizienten. Was heisst das denn schon wieder.
Wenn ich einen Körper auf einer ebenen, waagerechten Fläche langziehe, dann entfaltet sich die volle Reibungskraft, da ja seine Gewichtskraft (senkrecht nach unten per Definition, aber auch nach Newtons Apfel-Fall-Experiment ) komplett auf der Fläche lastet. Fange ich an die Ebene zu kippen, dann wird die Reibungskraft immer weniger, bis der Körper irgendwann abrutscht, bzw. keinen Halt mehr hat, wenn die Ebene senkrecht steht. Hier kommt wieder das Kräfte Parallelogramm aus dem Physikunterricht und die Vektorrechnung ins Spiel. Aber die brauchen wir hier nicht.

Nachdem wir jetzt die Grunlagen haben, überlegen wir mal kurz, welche Kräfte wirken denn auf den Körper (sprich den Achterbahnzug). Hierzu nehmen wir einen Schlitten, der eine Ebene mit Neigung phi (gr. Buchstabe) gegenüber der Horizontalen herunterfährt.

1. Wir haben seine Gewichtskraft, die dafür sorgen will, dass er nach unten fährt. Da aber nur die Komponente parallel zum Gleis den Zug beschleunigen kann, gilt hier:
F = m * g * cos phi

2. Wir haben seine Reibung, die sich wie oben beschrieben, aus der Kraft senkrecht zur Fläche mal einen Koeffizienten berechnet.
F = k * m * g * sin phi

Da nun die beschleunigende Gewichtskraft (Hangabtriebskraft) und Reibung einander entgegengerichtet sind, ergibt sich für die resultierende Kraft:

F = m * g * cos phi - k * m * g * sin phi = m * g * (cos phi - k * sin phi).

Nutzen wir nun das F = m * a vom Anfang, können wir die Beschleunigung des Wagens ausrechnen, und die ist:

F = m * a = m * g * (cos phi - k * sin phi) => a = g * (cos phi - k * sin phi).

Und hier kommt das Ergebnis, von dem fast immer jeder überrascht ist. Die Beschleunigung eines Körpers hängt nicht von seiner Masse ab. Zumindest nicht im einfachen Fall des Schlittens auf einer schiefen Ebene.

Ersetzen wir nun Kufe durch Rad, ändert sich nicht viel, ausser des Koeffizienten, da wir jetzt einen Rollwiderstand anstelle eines Gleitwiderstandes haben. Aber auch der ist proportional zu der Normalkraft (senkrechte Komponente der Gewichtskraft).

Woher kommen dann evtl. Geschwindigkeitsunterschiede?
Eine Antwort ist der Luftwiderstand. Denn eine Feder und eine Bleikugel fallen im Vakuum gleich schnell. Diesen Versucht hat mein Physiklehrer im Unterricht gezeigt, und auch da war ein riesen Gestaune das Ergebnis. Der Luftwiderstand ist proportional zur Geschwindigkeit des Gegenstandes. Das sieht man z.b. bei der Feder, die erst schneller wird, aber dann eine konstante Geschwindigkeit hält, weil dann ihr Luftwiderstand genauso gross ist, wie ihre Gewichtskraft. Eine praktische Anwendung kennt jeder, nennt sich Fallschirm.
Also, je höher die Geschwindigkeit, desto höher die Luftwiderstandsreibung. Das drückt sich mathematisch dann so aus:

F = b * v.

Also wäre dann die gesamte Kraft (mit "linearer Reibung", was die Sache komplizierter macht):

F = m * a = m g cos phi - k m g sin phi - b * v => a = g (cos phi - k sin phi) - b/m * v

Nehmen wir an, dass wir die maximale Geschwindigkeit erreicht haben (a = 0), dann haben wir folgende Gleichung:

v_max = m/b g (cos phi - k sin phi).

Hieraus folgt, dass bei einer vergrösserung der Masse auch die maximal erreichbare Geschwindigkeit sich vergrössert. q.e.d.
Da aber die ganzen Reibungskoeffizienten doch eher klein sind, brauchen wir uns über diese Effekte keine Gedanken machen.
Weiterhin kommt erschwerend hinzu, dass der Luftwiderstandsbeiwert dann auch noch geschwindigkeitsabhängig ist.

Danke für die nette Ausführung und dass du dir die Mühe gemacht hast. Jetzt brauchen wir noch dringend ein Formeltool für Onride.

Für alle, die es sich noch nicht so richtig vorstellen können gibts noch ein Bild im Wikipedia Artikel.


Kleine Anmerkung:
Du hast sin und cos bei der Normal- und Hangabtriebskraft vertauscht. Ändert aber nichts an der wesentlichen Aussage, dass die Masse nacher keine Rolle spielt.

Zitat

Da aber die ganzen Reibungskoeffizienten doch eher klein sind, brauchen wir uns über diese Effekte keine Gedanken machen.

Wir nicht ,da gebe ich dir recht, aber bei der Konstruktion werden solche Werte schon berücksichtigt. Besonderst weil die Reibungskräfte, sei es jetzt Rollreibung oder Luftwiderstand, nicht über die ganze Fahrt konstant sind. Da wirds dann schon komplizierter.

Gruß Tobi

Danke Carsten für diese Ausführliche Darstellung. Da werden auch Erinnerungen an mein Studium wach ... ... ich hatte sie schon fast verdrängt! Wenn du es jetzt noch schaffst, die temperaturabhängigen Widerstände der Radlager in die Formeln zu berücksichtigen, verneige ich mich vor dir!
Es gab da ja mal den Fall des leeren GeForce-Zuges, der die Strecke nicht schaffte...

Hallo J4kie,

dass der Luftwiderstand mit v2 läuft, hätte ich jetzt nicht gewusst. Müsste mal den Artikel bei der Wikipedia nachrechnen
Worum es mir ging, war das zeigen, dass bei geschwindigkeitsunabhängigen Reibungen (Haft- und Rollreibung) diese keinen Einfluss auf die Geschwindig keite haben, weil sich halt die Masse rauskürzt.
Und dass es halt geschwindigkeitsabhängige Effekte sind, welche für unterschiedliche Geschwindigkeiten sorgen.

Dass im Endeffekt die Reibung wichtig ist, sollte klar sein, denn sonst kann der zweite Berg in der Bahn genau so hoch sein wie der erste, und er wird erreicht. Dass dies nicht der Fall ist, wissen wir alle. Denn die Energie, die zum erneuten Erklimmen der Ausgangshöhe fehlt, wurde über Reibung verbrannt.

@djToo-Mass: Ich glaube, wer es schafft, die Reibungskoeffizienten von geschmierten Kugellagern in Abhängigkeit von Temperatur, Geschwindigkeit, Lagerform (Kugel-, Walzen-, Kegellager) zu bestimmen, hat nen Nobelpreis verdient. Von daher rechnet man mit Näherungen, Erfahrungswerten und Sicherheiszuschlägen. Aber ich glaube, dass ist Dir bewusst.
Und das die GForce hängen blieb, und den onridern zu einem Freiticket verholfen hatte (welches wir dann für mich am Geburtstag meines Mannes nutzten), hing micht nicht vorgewärmten Schmierstoffen zusammen. Aber das war dem Park glaub ich bewusst, als sie die Bahn auf die Strecke schickten.
Ich weiss nicht, ob man froh sein sollte, oder sich ärgern, dass man diese "Pendelfahrt" nicht mitmachen konnte.
Und da die Koeffizienten im allgemeinen eher recht klein sind (Wikipedia gibt für die Rollreibung von Stahl auf Stahl 0.004 oder so an), glaube ich kaum, dass die Masse, die die Passagiere beibringen, nennenswerte Effekte haben. Ich schätze mal, das die Wagen mindestens doppelt so schwer wie ihre Passagiere sind, d.h. die Wagen haben ein Gewicht von mindestens 140kg/Passagier. Macht mit Passagier ein Gewicht von 210 kg/Passagier (mindestens), und da machen dann 10kg Gewichtsunterschied nicht die Riesen effekte aus. Wir sprechen von maximalen Effekten um die 5% und das bei sowieso schon kleinen Effekten.


Carsten

MSar

...
Ich glaube, wer es schafft, die Reibungskoeffizienten von geschmierten Kugellagern in Abhängigkeit von Temperatur, Geschwindigkeit, Lagerform (Kugel-, Walzen-, Kegellager) zu bestimmen, hat nen Nobelpreis verdient.
...

Daher hätte ich mich ja auch dann vor dir verneigt!

Die Passagiere machen wirklich nur einen vergleichsweise kleinen Teil der Masse aus, von daher hast du da auf jeden Fall Recht. Ich weiß auch nicht, ob mir eine Pendelfahrt derart zusagen würde, wobei ich ein auspendeln an dieser Stelle um einiges angenehmer vorstelle, als bei einem klassischen Out & Back Coaster zwischen zwei großen Camelbacks.

Heißt bestimmen nicht auch einfach nur messen? Das dürfte doch ziemlich leicht sein, oder irre ich mich?

Leider irrst du dich! Die Berechnungen würden derart kompliziert, wenn nicht sogar unlösbar sein, da dort zu viele Faktoren mit hineinspielen.

bestdani

Heißt bestimmen nicht auch einfach nur messen? Das dürfte doch ziemlich leicht sein, oder irre ich mich?

Selbst wenn wir das Verhalten von Reibung in Abhängigkeit von Temperatur und Geschwindigkeit bestimmt hätten, dann bräuchten wir eine Formel, die das ganze beschreibt. Oder formeltechisch k(T,v). Da ja Reibung aber auch Hitzeerzeugt, haben wir ein T(v,t) (Temparatur in abhängigkeit von Geschwindigkeit und Zeit).

Und da wir hier mit Differentialgleichungen zu tun haben, wird das ganze seeeeeeeehr fies, bis nur noch numerisch lösbar.


Carsten

Da ist ja das böse Wort mit "D"... ...was habe ich es gehasst!

Ist der Widerstandskoeffizient selbst nicht auch abhängig von der wirkenden Kraft? Den kann man vermutlich nicht mehr so einfach wegkürzen, da die Kraft bestimmt über eine trigonometrische Funktion auf Cr einwirkt...

Unabhängig davon ist Cr natürlich auch noch abhängig von den Temperaturen von Schiene(!) und Rad (je kälter Schiene und Rad, desto kleiner dieser CR, da die Elastizität abnimmt).

Deswegen betrachtet man ja auch erst mal nur eine schiefe Ebene, und nicht irgendwelche mit Herzkurven versehenen Achterbahn-Trajekte.

Gleit-, maximale Haft- und Rollreibung sind nur von der Normalenkraft hängig. Zum Glück. Wobei, wenn der Zug auf einer Parabel aufgefangen wird, erhöht sich diese natürlich um den Anteil der Zentripetalkraft, welche senkrecht zur Ebene wirkt. (Und die geht auch wieder mal mit v2 einher).

Sprich, wer es schafft, dass er die Fahrt eines Achterbahnzugs explizit ausrechnen kann, ist mehr als ein Genie.

Ich meine das "k" in der zweiten Gleichung. Dort steckt ebenfalls ein "m" drin. Auch auf der einfachen schiefen Ebene.
Höhere Kräfte in Tälern zB kürzen sich wiederum über "g" weg. Die Rollreibung erhöht sich dadurch zwar, aber bei leerem und vollem Zug im gleichen Verhältnis. Lediglich die Änderung von "k" selbst könte einen Unterschied machen.

Also der Reibungskoeffizient selber ist unabhängig von der Masse, die reibt, und unabhängig von der Auflageform. Zumindest habe ich es so gelernt.
Für die Haftreibung gilt, der Koeffizient ist variabel (ja), aber er hat nen Maximalwert. Die Reibungskraft (Haftung) berechnet sich aus Normalenkraft (hier geht die Masse ein, steht auch so in der Formel, g m cos phi - oder auch sin, im Moment ja völlig egal ) mal diesen Koeffizienten. Da bei ablegen auf der schiefenen Ebene gilt, Hangabtrieb = - Reibung (sonst hätten wir kein stilliegen des Körpers) ist k variabel. Hängt aber nicht von der Masse sondern von der Steigung ab. Und sein Maximalwert ist ermittelbar.
Die Gleitreibung ist kleiner als die maximale Haftreibung, und konstant, egal wie schnell der Körper bewegt wird. Hängt auch nicht von der Masse ab.

Wenn man mal Reibungskraft über Zugkraft aufzeichen würde, hätte man erst eine Steigung und dann einen Abbruch auf ein konstantes Niveau. (Man stelle sich einen dicken Pfeil vor, den man in der Mitte halbiert hat, und dessen Spitze zur 0 liegt).

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Ich hoffe, die ASCII-Art kommt rüber.

Bei der Rollreibung istr der Koeffizient konstant.

Die Reibung beruht darauf, dass sich zw. den beiden Körpern (Schlitten / Ebene) an den Berührungspunkten Wasserstoffbrücken oder van-der-Waals Bindungen bilden. Solange die Scherkraft nicht gross genug ist, bleiben diese Bindungen erhalten. (Anstieg in der Graphik). Dann erreichen wir einen Punkt, wo die Scherkraft reicht, die Bindungen zu zerreissen (Abbruchkante), und wenn der Körper dann gleitet, bilden sich die Bindungen nicht mehr vollständig aus (in voller Anzahl) und die Kraft diese Bindungen zu zerreissen ist geringer, als vollständig ausgebildete Bindungen zu zerreissen (niedrigeres Niveau). Es gibt da so ein Theorem, dass sich Körper immer nur in 3 Punkten berühren. Und wenn man mal eine hochpolierte Metalloberfläche auf eine andere hochpolierte Metalloberfläche drückt, erreicht man sogar recht dauerhafte Verbindungen.
Also kommt hier noch ein anderer Faktor, den kein Mensch kennt ein: Die Rauheit der sich berührenden Oberflächen.

Bei der Rollreibung hat man dieses ansteigen nicht, da man keine Scherkräfte überwindet, sondern Zerr-/Zugkräfte.

Also so hab ich das mal gelernt.

Buster

Ich meine das "k" in der zweiten Gleichung. Dort steckt ebenfalls ein "m" drin. Auch auf der einfachen schiefen Ebene.
Höhere Kräfte in Tälern zB kürzen sich wiederum über "g" weg. Die Rollreibung erhöht sich dadurch zwar, aber bei leerem und vollem Zug im gleichen Verhältnis. Lediglich die Änderung von "k" selbst könte einen Unterschied machen.

Sorry, für Doppelantwort, fiel mir im Nachhinein ein:

Nein, kürzen sich nicht weg. Da die Zentripetalkraft die Normalenkomponente direkt beeinflusst, würde folgen:

F_gesBeschleunigung = F_hangab - F_reib = F_hangab - k (F_normal) = F_hangab - k (F_normal + F_zentr) = m g sin phi - k (m g cos phi + m v2 / r)

Die Masse fällt raus, aber wenn Du im Tal mit 3 g in den Sitz gepresst wirst, darfste da auch gerne den Faktor 3 für die Reibungskraft einbauen. Sprich da unten wir dann 3 mal so stark gerieben, wie auf einer horizontalen bei gleicher Geschwindigkeit.

Und das böse D-Wort sähe dann wie folgt aus:

dv/dt = g sin phi - k_rollreib g cos phi + (k_luftwid/m + k_rollreib/r) v2

Von der Mathematik ähnlich des "flachen" falls, nur haben wir eine Abhängigkeit des Krümmungsradius der Bahn von der Position, also ein r(int v) - Ich mag gar nicht dran denken, wie sich Integrale in einer Differentialgleichung auswirken. Obwohl, mit ner einfachen Ableitung sollten wir das wieder raus haben. Wobei ich so das dumme gefühl habe, dass r(x) alles andere als eine leicht zu beschreibende, stetig ableitbare Funktion ist. - Aber das geht jetzt definitiv zu weit.

Zitat

Die Masse fällt raus, aber wenn Du im Tal mit 3 g in den Sitz gepresst wirst, darfste da auch gerne den Faktor 3 für die Reibungskraft einbauen.

Da sind wir uns einig.
Ich schrieb:

Zitat

Höhere Kräfte in Tälern zB kürzen sich wiederum über "g" weg. Die Rollreibung erhöht sich dadurch zwar, aber bei leerem und vollem Zug im gleichen Verhältnis.

Beim Rollwiderstand glaube ich aber nicht wirklich an eine Konstante. Vereinfacht kann man das zwar bestimmt so sehen, aber wenn man mal genau hinschaut erscheint es mir logisch, dass die Kraft, die die Räder auf die Oberfläche (hier Schiene) drückt durchaus einen Einfluss auf diesen Koeffizienten hat und er deswegen nicht konstant ist.

Grund:
Wenn ich zwei Gegenstände gegeneinander drücke, so verformen sie sich. Wenn nun das Rad über die Schiene rollt verformen sich beide in gewissem Maße. Die Verformung selbst ist dabei abhängig von der wikenden Kraft. Das Rad erzeugt also eine kleine "Delle" oder "Mulde" in der Schiene und schiebt diese vor sich her. Das Rad will natürlich weiterrollen und muss folglich aus der "Mulde" raus. Genau das aber kostet Kraft und Energie (eben die Rollreibung). Wird die Kraft nun größer und dadurch die "Mulde" tiefer, ändert sich der Winkel in dem die Gegenkraft wirkt und das müsste demnach einen anderen Koeffizienten ergeben. (Selbiges gilt natürlich ebenso für die Delle im Rad selbst)

Zugegeben... Der Effekt wird nicht groß sein (vor allem bei Polypropylen-Rollen auf Stahlrohr), aber er sollte da sein.